La tetrade dei quattro elementi è contenuta nell'universo, il ϰόσμος, e questo nella fascia, come i quattro poliedri nel quinto e nella sfera circoscritta. Così la tetrade dei punti, delle linee rette, dei piani e dei corpi è contenuta nello spazio e lo costituisce; e quattro punti individuano il poliedro con il minimo numero di facce ed individuano una sfera; così la somma dei primi quattro numeri interi dà l'unità e totalità della decade (numero che appartiene tanto ai numeri lineari della serie naturale, quanto ai numeri triangolari, quanto ai numeri piramidali, e questo indipendentemente dal fatto di assumere il dieci come base del sistema di numerazione); così le quattro note del tetracordo costituiscono l'armonia. Il tetraedro, la tetrade dei quattro elementi, la tetractys dei quattro numeri, ed il tetracordo sono così intimamente legati tra loro. E si comprende perché il catechismo degli Acusmatici identifichi l'oracolo di Delfi (l'ombelico del mondo) alla tetractis ed all'armonia. La parte aurea ha grandissima importanza nella struttura del pentalfa ed in quella del dodecaedro simbolo dell'universo. Si comprende quindi anche perché la parte aurea abbia tanta importanza nell'architettura pre-periclea; e molte altre cose vi sarebbero da dire circa l'influenza ed i rapporti tra la geometria pitagorica, la cosmologia, l'architettura e le varie arti. La digressione sarebbe però troppo lunga. In questo modo lo sviluppo della geometria pitagorica ha per fine (nei due sensi della parola) la inscrizione del dodecaedro nella sfera ed il riconoscimento delle sue proprietà, come sappiamo che accadeva effettivamente. Anche Euclide, secondo l'attestazione di Proclo, pose per scopo finale dei suoi elementi la costruzione delle figure platoniche (poliedri regolari); e forse dal tempo di Pitagora a quello di Euclide questo scopo finale si mantenne tradizionalmente lo stesso; ma mentre in Euclide l'intento era puramente geometrico, in Pitagora invece le proprietà del dodecaedro mostravano, se non dimostravano, l'esistenza nel cosmo di quella stessa armonia che l'orecchio e l'esperienza scoprivano nelle note del tetracordo. Questo era, riteniamo, il legame profondo che univa la geometria alla cosmologia, e forniva la base e l'impulso anche all'ascesi pitagorica; e si comprende ora con una certa precisione, e non più vagamente, come Platone potesse scrivere che la geometria è un metodo per dirigere l'anima verso l'essere eterno, una scuola preparatoria per una mente scientifica, capace di rivolgere le attività dell'anima verso le cose sovrumane, e che è perfino impossibile arrivare a una vera fede in Dio se non si conosce la matematica e l'intimo legame di quest'ultima con la musica. Per i pitagorici e per Platone la geometria era dunque una scienza sacra, ossia esoterica, mentre la geometria euclidea, spezzando tutti i contatti e divenendo fine a se stessa, degenerò in una magnifica scienza profana. Di questo particolare legame della cosmologia con la musica, percepibile nel tetracordo formato dagli elementi costitutivi del dodecaedro, non è rimasta traccia, ma in questo caso riteniamo che l'assenza di ogni traccia materiale non sia casuale, perché questo doveva costituire uno degli insegnamenti segreti della nostra scuola; ed un indizio del fatto è fornito dalla subita riserva di Timeo nel dialogo platonico omonimo appena giunge a parlare del dodecaedro. Così possiamo presumere di avere fatto un passo abbastanza importante per la restituzione della geometria pitagorica, non soltanto dal punto di vista moderno di restituzione dell'edificio geometrico puro, ma dal punto di vista pitagorico inteso a studiare il cosmo per scoprire le connessioni tra la geometria e le altre scienze e discipline.