Logik Von A wie Allquantor bis Z wie ZF-Axiom
Für Schule, Studium und jeden, den es sonst noch interessiert
Sie finden Logik nicht immer ganz logisch? Damit sind Sie nicht alleine, denn so einfach es auf den ersten Blick scheint, so anspruchsvoll ist dieses Teilgebiet aus Philosophie und Mathematik im Detail. Logik für Dummies erklärt Ihnen Schritt für Schritt die wichtigsten Begriffe und die Theorien der berühmtesten Logiker: Beweise, Prädikat, Implikation, die syllogistische Logik von Aristoteles, die Russelsche Antinomie und vieles mehr. Dabei verwendet Mark Zegarelli anschauliche Beispiele und schafft es so, dieses abstrakte Thema nicht nur verständlich zu erklären, sondern auch dessen Wert und Nutzen aufzuzeigen.
Sie erfahren:
- Wie Sie mit Wahrheitstafeln Aussagen beurteilen
- Wie Sie mit einer Prädikatenlogik ein Argument beweisen
- Wie Sie logische Folgerungen ziehen
- Wie Sie Quanten- und Fuzzy-Logik begreifen
Table of Contents:
Einführung 21
Über dieses Buch 21
Konventionen in diesem Buch 22
Was Sie nicht unbedingt lesen müssen 23
Törichte Annahmen über den Leser 23
Wie dieses Buch aufgebaut ist 23
Teil I: Ein kurzer Überblick über die Logik 23
Teil II: Formale Aussagenlogik 24
Teil III: Beweise, Syntax und Semantik inder Aussagenlogik 24
Teil IV: Prädikatenlogik 24
Teil V: Moderne Entwicklungen in der Logik 24
Teil VI: Der Top-Ten-Teil 25
In diesemBuch verwendete Symbole 25
Wie es weitergeht 25
Teil I Ein kurzer Überblick über die Logik 27
Kapitel 1 Logik – was ist das eigentlich? 29
Wie man die Dinge logisch sieht 29
Wie man von der Frage zur Antwort kommt 30
Was Ursache und Wirkung miteinander zu tun haben 30
Alles und noch mehr 32
Sein oder Nichtsein 32
Wichtige Wörter in der Logik 33
Wie man Argumente konstruiert 33
Wie man Prämissen aufstellt 34
Wie man mit Zwischenschritten zur Antwort gelangt 34
Wie man eine Konklusion formuliert 34
Wie man entscheidet, ob das Argument gültig ist 35
Was sind Enthymeme? 35
Logische Schlüsse: leichtgemacht durch Denkgesetze 35
Der Satz der Identität 36
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten 36
Das Gesetz der Nichtwidersprüchlichkeit 36
Wie man Logik und Mathematik miteinander kombiniert 37
Die Mathematik hilft, die Logik zu verstehen 37
Die Logik hilft, die Mathematik zu verstehen 37
Kapitel 2 Die Geschichte der Logik von Aristoteles bis zum Computer 39
Die klassische Logik – von Aristoteles bis zur Aufklärung 39
Aristoteles erfindet die syllogistische Logik 40
Euklids Axiome und Theoreme 43
Chrysippos und die Stoiker 44
Die Logik macht Urlaub 44
Die moderne Logik – das 17., 18. und 19. Jahrhundert 45
Leibniz und die Frühaufklärung 45
Der Ausbau zur formalen Logik 46
Freges formale Logik 48
Die Logik im 20.und 21. Jahrhundert 49
Die nichtklassische Logik 50
Gödels Beweis 50
Das Computerzeitalter 51
Auf der Suchenach der endgültigen Grenze 51
Kapitel 3 Die Hauptsache: das Argument 53
Was ist Logik? 53
Wie man die Argumentstruktur prüft 54
Die Gültigkeitsprüfung 55
Weitere Beispiele für Argumente 56
Eis am Sonntag 57
Fiffis Kummer 57
Flucht aus Berlin 58
Der Fall des schlecht gelaunten Mitarbeiters 58
Was Logik nicht ist 59
Denken kontra Logik 60
Die Wirklichkeit – was für einBegriff! 61
Die Schlüssigkeiteines Arguments 61
Deduktion und Induktion 63
Rhetorische Fragen 64
Wozu dient eigentlich die Logik? 66
Wähl eine Zahl (Mathematik) 66
Flieg mit mir zumMond (Wissenschaft) 67
Schalt ein oder aus (Computerwissenschaft) 67
Erzählen Sie das dem Richter (Recht) 67
Finden Sie den Sinn des Lebens (Philosophie) 68
Teil II Formale Aussagenlogik 69
Kapitel 4 Formales 71
Wichtig: die Formalitäten bei der Aussagenlogik 71
Aussagenkonstanten 72
Aussagenvariablen 72
Wahrheitswerte 73
Die fünf Operatoren der Aussagenlogik 73
Negativ fühlen 74
Nach dem »oder« graben 77
Nun wird es aberheikel 79
Nun wird es sogar noch heikler 81
Warum Aussagenlogik wie einfacheArithmetik ist 83
Die Ein- und Ausgabe von Werten 83
Für einen Stellvertreter gibt es keinen Ersatz 84
Wir setzen Klammern 85
Lost in Translation 85
Der einfache Weg – das Übersetzen aus der Aussagenlogik ins Deutsche 86
Der nicht-so-einfache Weg – dasÜbersetzen aus dem Deutschen in die Aussagenlogik 87
Kapitel 5 Der Wert der Bewertung 91
Der Wert ist das Entscheidende 91
Wie man mit der Bewertung von Aussagen vertraut wird 92
Wie man ein weiteres Verfahren ausprobiert 94
Wie man eine Aussage macht 95
Wie man Teilaussagen ermittelt 95
Wie man eine Aussage eingrenzt 96
Der Hauptanziehungspunkt: die Suche nach den Hauptoperatoren 98
Die acht verschiedenen Aussagen in der Aussagenlogik 100
Teile vom Ganzen 100
Kommen wir auf die Bewertung zurück 101
Kapitel 6 Wie man mit Wahrheitstafeln Aussagen bewertet 103
Kommen Sie mal nach vorne an die Tafel!Von der Freude an der rohen Gewalt 103
Die erste Wahrheitstafel für Abc-Schützen 104
Wie man eine Wahrheitstafel erstellt 104
Wie man eine Wahrheitstafel ausfüllt 107
Wie man eine Wahrheitstafel analysiert 110
Wie man Wahrheitstafeln einsetzt 110
Wie man es mit Tautologien und Kontradiktionen aufnimmt 110
Woran man semantische Äquivalenz erkennt 111
Wie man konsistent bleibt 113
Wie man sich um die Gültigkeit streitet 115
Wie man die Teile zusammensetzt 117
Wie man Tautologie und Kontradiktion miteinander verbindet 118
Wie man semantische Äquivalenz und Tautologie miteinander verbindet 119
Wie man Inkonsistenz und Kontradiktion miteinander verbindet 120
Wie man Gültigkeit und Kontradiktion miteinander verbindet 121
Kapitel 7 Die einfache Lösung: Wie man Schnelltafeln erstellt 123
Wie man der Wahrheitstafel wegen einer neuen Freundin den Laufpass gibt: die Schnelltafel 124
Eine kurze Zusammenfassung desSchnelltafelverfahrens 125
Wie man eine strategische Annahme aufstellt 125
Wie man eine Schnelltafel ausfüllt 126
Wie man eine Schnelltafel deutet 126
Wie man eine Annahme widerlegt 127
Wie man seine Strategie plant 128
Tautologie 128
Kontradiktion 129
Logisch nicht determinierte Aussagen 129
Semantische Äquivalenz oder Nichtäquivalenz 129
Konsistenz und Inkonsistenz 130
Gültigkeit und Ungültigkeit 130
Wie man mit Schnelltafeln eleganter arbeitet 131
Wie man die sechs einfachsten Typen von Aussagen erkennt und mit ihnen arbeitet 131
Wie man mit den vier nicht-so-einfachen Aussagentypen arbeitet 133
Wie man die sechs schwierigen Aussagentypen bewältigt 135
Kapitel 8 Die Wahrheit wächstauf Bäumen 139
Wie Wahrheitsbäume funktionieren 139
Wie man Aussagen zerlegt 140
Wie man mit Bäumen Aufgaben löst 142
Wie man Konsistenz oder Inkonsistenz aufzeigt 142
Wie man auf Gültigkeit oder Ungültigkeit testet 145
Wie man Tautologien, Kontradiktionen und logisch nichtdeterminierte Aussagen voneinander trennt 147
Tautologien 147
Kontradiktionen 150
Logisch nicht determinierte Aussagen 153
Wie man auf semantische Äquivalenz testet 153
Teil III Beweise, Syntax Und Semantik in Der Aussagenlogik 157
Kapitel 9 Was müssen Sie beweisen? 159
Wie man von der Prämisse zur Konklusion gelangt 159
Wie man in der Aussagenlogik die Implikationsregeln anwendet 161
Die →-Regeln: Modus ponens und Modus tollens 161
Die &-Regeln: Konjunktion und Simplifikation 164
Die -Regeln: Addition und disjunktiver Syllogismus 167
Die beiden →-Regeln: hypothetischer Syllogismus und konstruktives Dilemma 169
Kapitel 10 Chancengleichheit: wie man den Äquivalenzregeln Arbeit verschafft 173
Wie man Implikationen und Äquivalenzen voneinander unterscheidet 173
Warum Äquivalenzen wahre Tausendsassa sind 174
Wie man Äquivalenzen von einem Teil aufdas Ganze anwendet 174
Woran man die zehn gültigen Äquivalenzen erkennt 174
Doppelte Negation (DN) 175
Kontraposition (Kontra) 175
Implikation (Impl) 176
Exportation (Exp) 178
Kommutation (Kom) 179
Assoziation (Ass) 179
Distribution (Dist) 180
DeMorgan-Theorem (DeM) 182
Tautologie (Taut) 183
Äquivalenz (Äquiv) 183
Kapitel 11 Konditionalbeweise und indirekte Beweise 187
Wie man die Prämissen mit dem Konditionalbeweis aufarbeitet 187
Wir lernen den Konditionalbeweiskennen 188
Wie man Änderungen an der Konklusion vornimmt 190
Wie man Annahmen aussondert 192
Indirekt denken: Wie man Argumente mit indirekten Beweisen beweist 193
Was ist ein indirekter Beweis? 194
Wie man kurze Konklusionen beweist 195
Wie man Konditionalbeweise und indirekte Beweise miteinander kombiniert 196
Kapitel 12 Wie man alles zusammenpackt: strategisch vorgehen, um jeden Beweis blitzschnell zu knacken 199
Leichte Beweise: den richtigen Ansatz wählen 200
Schauen Sie sich die Aufgabe an 200
Schreiben Sie den leichten Kram auf 201
Wie geht es weiter? 203
Moderate Beweise: Wann wendet man den Konditionalbeweis an? 203
Die drei freundlichen Formen: x→y, x y und (x & y) 204
Die beiden weniger freundlichen Formen: x↔y und ~(x↔y) 205
Die drei unfreundlichen Formen: x&y, ~(x y) und ~(x → y) 207
Schwierige Beweise: Was macht man, wenn es immer komplizierter wird? 207
Treffen Sie überlegt eine Wahl zwischen einem direkten und einem indirekten Beweis 207
Arbeiten Sie sich rückwärts von der Konklusion ab vor 209
Vertiefen Sie sich in die Aussagen der Aussagenlogik 211
Zerlegen Sie lange Prämissen 214
Stellen Sie eine scharfsinnige Vermutung an 216
Kapitel 13 Einer für alle und alle für einen 219
Wie man sich mit den fünf Operatoren der Aussagenlogik behelfen kann 219
Stellenabbau – eine wahre Geschichte 221
Die Tyrannei der Macht 222
Es kommt zum Aufstand 222
Die Zwickmühle 223
Der geniale Shefferstrich 224
Die Moralvon derGeschicht’ 225
Kapitel 14 Syntaktische Manöver und semantische Betrachtungen 227
Wohlgeformte Formeln (WFF) und nichtwohlgeformte 227
Was sind WFFs? 228
Die Regeln werden gelockert 229
WFFs werden von den Nicht-WFFs getrennt 230
Der Vergleich zwischen Aussagenlogik und boolescher Algebra 231
Die Zeichen lesen 231
Mathematik betreiben 233
Syntax und Semantik der booleschen Algebra erforschen 234
Teil IV Prädikatenlogik 235
Kapitel 15 Wie man Quantität mit Qualität ausdrückt: Die Prädikatenlogik stellt sich vor 237
Werfen wir einen kurzen Blick auf die Prädikatenlogik 238
Wie man Individuenkonstanten und Eigenschaftskonstanten einsetzt 238
Die Operatoren der Aussagenlogik kommen ins Spiel 240
Wofür die Individuenvariablen stehen 241
Wie sich Quantität mit zwei neuen Operatoren ausdrücken lässt 242
Was ist ein Allquantor? 242
Wie man »Es gibt-Aussagen« einfängt 243
Der jeweilige Individuenbereich 244
Wie man Aussagen und Aussageformen auseinanderhält 246
Wie man den Skopus eines Quantors bestimmt 246
Wir entdecken gebundeneVariablen und freie Variablen 247
Welcher Unterschied besteht zwischen Aussagen und Aussageformen? 247
Kapitel 16 Übersetzungenindie Prädikatenlogik 249
Wie man die vier Grundformen kategorischer Aussagen übersetzt 249
»Alle« und »einige« 249
»Nicht alle« und »kein« 252
Alternative Übersetzungen der Grundformen 253
Wie man »alle« mit ∃ und ~übersetzt 253
Wie man »einige« mit ∀ und ~übersetzt 254
Wie man »nicht alle« mit ∃ übersetzt 254
Wie man »kein« mit ∀ übersetzt 255
Wie man maskierte Aussagen identifiziert 255
»Alle«-Aussagen erkennen 256
»Einige«-Aussagen erkennen 256
»Nicht alle«-Aussagen erkennen 256
»Kein«-Aussagen erkennen 257
Kapitel 17 Mit der Prädikatenlogik die Gültigkeit von Argumenten beweisen 259
Wie man Regeln aus der Aussagenlogik in der Prädikatenlogik einsetzt 259
Der Vergleich von Aussagen derAussagenlogik und der Prädikatenlogik 260
Wie man die achtImplikationsregeln der Aussagenlogik in die Prädikatenlogik überträgt 260
Wie man in der Prädikatenlogik die zehn Äquivalenzregeln einsetzt 263
Wie man Aussagen mithilfe der Quantorennegation (QN) transformiert 263
Die Quantorennegation stellt sich vor 264
Wie man QN bei Beweisen einsetzt 265
Die vier Quantorenregeln 266
Leichte Regel Nr. 1: die universelle Instanziierung (UI) 267
Leichte Regel Nr. 2: die existenzielle Generalisierung 270
Die nicht-so-einfache Regel Nr. 1: die existenzielle Instanziierung (EI) 272
Die nicht-so-einfache Regel Nr. 2: die universelle Generalisierung (UG) 276
Kapitel 18 Gute Beziehungen und positive Identitäten 281
Was sind Relationen? 281
Wie man Relationen definiert und nutzt 282
Wie man relationale Ausdrücke miteinander verknüpft 283
Wie man Quantoren bei Relationen verwendet 283
Wie man mit mehreren Quantoren arbeitet 284
Wie man Beweise mit Relationen erstellt 286
Wie man Identitäten identifiziert 288
Was sind Identitäten? 289
Wie man Beweise mit der Identität erstellt 289
Kapitel 19 Wir pflanzen viele Bäumchen 293
Wie Sie Ihr Wissen über Wahrheitsbäumeinder Prädikatenlogik anwenden können 293
Der Einsatz der Zerlegungsregeln aus der Aussagenlogik 293
UI, EI und QN gesellen sich dazu 295
Der wiederholte Einsatz von UI 297
Nicht-endende Bäume 300
Teil V Moderne Entwicklungen in Der Logik 303
Kapitel 20 Computerlogik 305
Frühe Computer 305
Babbage entwirft die ersten Computer 305
Turing und seine Turing-Maschine 306
Das moderne Computerzeitalter 308
Hardware und logische Gatter 308
Software und Computersprachen 310
Kapitel 21 Die nichtklassische Logik 313
Die Tür zum Möglichen wird aufgestoßen 313
Die dreiwertige Logik 314
Die mehrwertige Logik 315
Die Fuzzy-Logik 316
Klären wir die Modalitäten! 318
Wie man mit Aussagen in indirekter Rede umgeht 320
Die Logik einer höheren Ordnung 320
Über die Konsistenz hinaus 321
Wir setzen zumQuantensprung an 322
Ein Quäntchen Quantenlogik 323
Wir spielen das Hütchenspiel 323
Kapitel 22 Paradoxe und axiomatische Systeme 325
Die Fundierung der Logik durch die Mengenlehre 325
Die Anordnung der Dinge 326
Der Ärger mit demParadox: wie man dieses Problem mit der Mengenlehre angeht 327
Die Lösung des Problems in den Principia Mathematica 328
Die Aussagenlogik als axiomatisches System 329
Wie man Korrektheit und Vollständigkeit beweist 330
Korrektheit und Vollständigkeit von Aussagenlogik und Prädikatenlogik 331
Wie das Hilbert-Programm Logik und Mathematik formalisiert 331
Gödels Unvollständigkeitssatz 332
Die Bedeutung des gödelschen Unvollständigkeitssatzes 332
Wie er es anstellte 332
Was hat das alles zu bedeuten? 333
Teil VI Der Top-ten-teil 335
Kapitel 23 Zehn Zitate zur Logik 337
Kapitel 24 Zehn große Persönlichkeiten der Logik 339
Aristoteles (384–322 v. Chr.) 339
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) 339
George Boole (1815–1864) 339
Lewis Carroll (1832–1898) 340
Georg Cantor (1845–1918) 340
Gottlob Frege (1848–1925) 340
Bertrand Russell (1872–1970) 341
David Hilbert (1862–1943) 341
Kurt Gödel (1906–1978) 341
Alan Turing (1912–1954) 342
Stichwortverzeichnis 343
